混沌蝴蝶——洛伦兹吸引子

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美国气象学家洛伦兹(E.N.Lorenz,不要和提出洛伦兹变换的那位搞混)是混沌理论的奠基者之一。20世纪50年代末到60年代初,他的主要工作目标是从理论上进行长期天气预报。他在使用计算机模拟天气时意外发现,对于天气系统,哪怕初始条件的微小改变也会显著影响运算结果。随后,他在同事工作的基础上化简了自己先前的模型,得到了有3个变量的一阶微分方程组,由它描述的运动中存在一个奇异吸引子,即洛伦兹吸引子。/

洛伦兹的工作结果最初在1963年发表,论文题目为Deterministic Nonperiodic Flow,发表在Journal of the Atmospheric Sciences杂志上。如今,这一方程组已成为混沌理论的经典,也是“巴西蝴蝶扇动翅膀在美国引起德克萨斯的飓风”一说的肇始。它的形式看起来很简单:

洛伦兹方程组是基于流体力学中的Navier-Stokes方程、热传导方程和连续性方程构建的,属于耗散系统。相空间中,耗散系统的终态都将收缩到吸引子的状态上。但对平庸吸引子来说,无论初值如何,终值只有一个,而奇异吸引子却是无数个点的集合,对初值极端敏感。如洛伦兹当年只是忽略了小数点4位以后的数值,得到的结果就有了相当大的偏差,甚至是完全相反。

在洛仑兹原始的工作中,x表示的是对流的翻动速率,y正比于上流与下流液体温差,z是垂直方向的温度梯度。式中三个参数(Prandtl数)、和(Rayleigh数)可任取大于0的数值。常用的组合是,,而令取不同数值。时有混沌现象,奇异吸引子出现,此时系统的演化轨迹如下图所示:

这一图案颇似蝴蝶展翅,所谓混沌理论的“蝴蝶效应”之得名据说也与此吸引子的形状有关。该系统中x、y、z这3个方向数值随时间的演化如下图,其中黑线为x轴变化情况,红线为y轴变化情况,蓝线是z轴变化情况(积分步长)。

固定另2个参数,的不同取值则决定了系统的不同性质。下面四图分别为该参数取值1、10、14与99.6时的演化轨迹:

另外此君还提供了一段洛伦兹吸引子的音乐,乐谱片段如下,制作原理不详,只知道3个轴的坐标分别用3种乐器表示。这段midi听起来感觉比较怪异,有兴趣的可以下载听一听。

洛伦兹吸引子的行为可以用一个“水轮”模拟,该装置的主体是可旋转的竖直轮盘,轮盘周围装有一圈可以漏水的杯子,从轮子上方注水至杯中,调节注水速度,达到某一速度时,轮盘的转动出现混沌。这一模型是Willem Malkus和Lou Howard于1970年前后提出的,在2005底召开的荷兰物理教师年会上,Planeten Paultje展示了实物。

再说所谓混沌。如庞加莱在《科学与方法》一书中所说,“初始条件的微小差异有可能在最终的现象中导致巨大的差异”,“预言变得不可能”。更准确的定义干脆照抄《天体力学基础》的教材好了:“若初始值有一点小偏差,则因这一点偏差引起的轨道未来预报的不准确将会指数增长。”混沌的判据是最大Lyapunov指数,该指数大于0则系统混沌,至于具体计算再扯下去必然公式连篇,故不详谈。

其实混沌理论也不一定要求系统形式上的复杂性,比如描述洛伦兹吸引子的方程组就很简单。关键是,在简单的表象后面莫测的复杂。如今在混沌的研究中,计算机起了很大的作用。至于实际应用,混沌起作用的地方还是很多的,如天气系统、N体运动中的轨道,乃至经济问题……返回搜狐,查看更多

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